Кинематика абсолютно твердого тела
Опубликовано: 15.10.2018
Абсолютно твердым телом называют тело при движении которого расстояние между двумя фиксированными точками не меняется. Твердое тело может совершать движения двух типов — поступательное и вращательное.
При поступательном движении любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному направлению, а траектории двух любых, связанных с телом, точек совершенно идентичны (их можно полностью совместить параллельным переносом). Примером поступательного движения относительно земли может быть кабина лифта, пассажирские кабины «колеса обозрения», стрелка компаса при произвольном перемещении его корпуса в горизонтальном направлении и т.д.
При поступательном движении приращение радиус-векторов всех точек твердого тела одинаковое, а значит одинаковы их скорости и ускорения. Следовательно поступательное движение твердого тела описывается кинематическими уравнениями любой из его точек.
Если при вращении твердого тела две его точки A и B остаются неподвижными, то любая точка C , лежащая на прямой AB также будет неподвижной. Если бы точка C перемещалась, то длина отрезков AC и BC изменялись, что противоречит определению абсолютно твердого тела. Прямую, проходящую через отрезок AB называют осью вращения, а движение твердого тела называют вращением тела вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим произвольную точку тела M не лежащую на оси вращения AB (рисунок 1). Поскольку длины отрезков MA , MB и MN , где N точка пересечения перпендикуляра опущенного из точки M на ось AB , во время движения остаются постоянными, то все точки вращающегося тела описывают окружность радиусом ρ, равного расстоянию от точки до оси вращения, в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Примером вращения вокруг неподвижной оси могут служить ротор электродвигателя или турбины.
Если абсолютно твердое тело закреплено в одной точке, то его движение называют вращением тела вокруг неподвижной точки, а саму точку называют центром вращения. При таком движении можно определить мгновенную ось вращения как ось, проходящую через центр вращения и перпендикулярную плоскости движения. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела может изменятся со временем.
В отличии от поступательного движения, при вращательном движении скорости точек v , расположенные на различном расстоянии от оси вращения, будут различными. Поэтому при вращательном движении скорость v отдельной точки не может служить кинематической характеристикой движения всего тела.
Рассмотрим вращательное движение тела относительно центра вращения O с мгновенной осью вращения OO1 , причем точка O1 соответствует центру дуги окружности по которой движется точки M (рисунок 2). Радиус-вектор точки M относительно центра вращения O обозначим через r , радиус-вектор точки M относительно O 1 обозначим через ρ , а вектор, направленный из точки O в точку O 1 обозначим через a . Эти вектора связаны соотношением
r = a + ρ .
За малый промежуток времени dt вектор ρ повернется в плоскости, перпендикулярной оси OO 1 на угол dφ . Радиус-вектор любой точки твердого тела (кроме точек на оси, поскольку их радиус-вектора равны нулю) за время dt также повернется на угол dφ , в противном случае это привело бы и изменению расстояния между точками, что противоречит определению абсолютно твердого тела. Получается, что угол поворота dφ характеризует вращательное движение всего тела. Введем вектор элементарного поворота тела (малого поворота тела) d φ , численно равного углу поворота dφ и направленного вдоль оси OO 1. Направление этого вектора совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом, то есть подчиняется правилу буравчика}.
Последовательность двух элементарных поворотов d φ 1 и d φ 2, подчиняется правилу сложения векторов, то есть сумарный элементарный поворот эквивалентен одному повороту
d φ = d φ 1 + d φ 2.
Скорость изменения угла поворота φ называют угловой скоростью ω и по определению скорости как отношение малого приращения угла за малое время dt имеем:
Вектор угловой скорости ω характеризует величину и направление изменения угла поворота. Если вектор угловой скорости постоянен ω =const , то движение называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси.
Скорость v движения произвольной точки M называют линейной скоростью. При вращении тела с угловой скоростью ω за время dt точка M проходит по дуге окружности радиуса ρ путь равный ds . Линейная скорость равна
Из рисунка 2 видно, что вектор линейной скорости перпендикулярен векторам ω и ρ , а его направление совпадает с их векторным произведением [ ω , ρ ]. Кроме того, вектора ω и ρ взаимно перпендикулярны, следовательно [ ω , ρ ]= ρω =v . Следовательно,
v = [ ω , ρ ].
Умножим выражение
r = a + ρ .
слева векторно на ω . Поскольку вектор a коллинеарен ω и их векторное произведение равно нулю, получим
v = [ ω , r ].
Мы рассмотрели наиболее общий случай вращения тела относительно неподвижной точки — центра вращения O . В частном случае, когда тело вращается относительно неподвижной оси, в качестве точки O можно выбрать любую точку, расположенную на оси вращения.
Для характеристики равномерного вращательного движения используют ряд понятий.
Периодом вращения T называют промежуток времени, за который равномерно вращающееся с угловой скоростью ω тело совершает полный оборот, то есть проворачивается на угол φ = 2π. Частотой вращения f называется число оборотов, совершаемых телом, за 1 секунду при равномерном вращении с угловой скоростью ω.Эти величины связаны между собой следующим образом:
Если тело вращается неравномерно, то вводится характеристика быстроты изменения угловой скорости — угловое ускорение ε :
В случае вращения тела вокруг неподвижной оси, направление вектора углового ускорения не меняется, а меняется только его величина. Вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения, в направлении вектора угловой скорости, если его величина положительна (ускоренное вращение) и в направлении противоположном вектора угловой скорости, если его величина отрицательна (замедленное вращение).
Выразим тангенциальное и нормальное ускорение произвольной точки M тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловые характеристики:
Для векторных величин, справедливы следующие соотношения:
Рассмотрим некоторые частные случаи вращения твердого тела:
Поступательное и вращательное движение твердого тела являются простейшими типами движения. В общем случае твердое тело может совершать сложное произвольное движение. В курсе теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.
Использованная литература
А.А. Детлаф, Б.М. Яворский, Л.Б. Милковская. Курс физики. М.: Высшая школа. 1973.